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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.9. Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$

Respuesta

Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \): a) \( f(0) = 0 \) b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. 

$ \lim_{{x \to 0}} x \sin(\frac{1}{x}) = 0 $ (por cero por acotada)

c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$

Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \): Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte. \( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)

En este caso no es necesario abrir por derecha y por izquierda, en ambos casos la expresión que tenemos que usar para $f(0+h)$ es la misma. 

\( \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})-0}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{{h \to 0}} \sin\left(\frac{1}{h}\right) \)

Este límite no existe ya que \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) oscila entre -1 y 1 a medida que \( h \) se aproxima a 0. 
Por lo tanto, \( f(x) \) no es derivable en \( x = 0 \).
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Avatar Franco 8 de septiembre 01:19
Hola Flor! Llegue super bien a la parte de derivabilidad, pero... cuando llego a:

lim h->0 sin(1/h) no logro dilucidar porque no existe. Entiendo que oscila entre 1 y -1 pero si yo hago "1/un numero que se acerca a cero pero que no es cero", se me va a infinito, y en la calcu yo hago 1/0,0000001 = 10.000.000 y luego hago sin(10.000.000) = -0,984... o sea, existe, me da un numero. De todas maneras ahora me voy a geogebra a ver si lo logro entender... 
Avatar Franco 8 de septiembre 01:24
Entre a geogebra y sali con mas dudas jaja. Grafique la funcion sen(1/x)... pero no lo puedo entender. 
Avatar Franco 8 de septiembre 01:53
creo que ya entendi, ahi estoy observando el grafico. Yo al estudiar derivabilidad necesito que el resultado me de un numero para poder decir que en ese punto es derivable, pero la funcion seno oscila infinitamente. lo que no me termina de cerrar es que si la grafica es una sinusoide, deberia tener rectas tangentes (el punto de la derivada, o no?) Bueno, aguardo tu respuesta!

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